Aturan Rantai Turunan Fungsi

Aturan Rantai Turunan Fungsi

   Blog Koma - Pada artikel kali ini kita akan membahas materi Aturan Rantai Turunan Fungsi. Sebelumnya kita telah membahas materi "Turunan Fungsi Aljabar", dan rumus-rumus dasar turunan fungsi aljabar menggunakan aturan rantai turunan fungsi. Aturan rantai turunan fungsi kita gunakan untuk fungsi yang bergantung dari fungsi lainnya. 

Penjelasan Aturan Rantai Turunan Fungsi

       Misalkan ada fungsi $ y = f[g(x)] \, $ , kita akan menentukan turunannya dengan aturan rantai.
Misalkan $ z = g(x) , \, $ maka fungsinya menjadi : $ y = f[g(x)] \rightarrow y = f[z] $ .
Untuk $ z = g(x) \rightarrow z^\prime = \frac{dz}{dx} = g^\prime (x) $
Untuk $ y = f[z] \rightarrow y^\prime = \frac{dy}{dz} = f^\prime [z] = f^\prime [g(x)] $
Sehingga turunan dari $ y = f[g(x)] \, $ dengan aturan rantai :
$ \begin{align} y^\prime = \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dz}.\frac{dz}{dx} = f^\prime [g(x)] . g^\prime (x) \end{align} $

       Turunan $ y = [g(x)]^n \, $ dengan aturan rantai :
Misalkan $ z = g(x), \, $ maka fungsinya menjadi $ y = [z]^n $
$ z = g(x) \rightarrow z^\prime = \frac{dz}{dx} = g^\prime (x) $
$ y = z^n \rightarrow y^\prime = \frac{dy}{dz} = n.z^{n-1} = n[g(x)]^{n-1} $
Sehingga turunan dari $ y = [g(x)]^n \, $ dengan aturan rantai :
$ \begin{align} y^\prime = \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dz}.\frac{dz}{dx} = n[g(x)]^{n-1} . g^\prime (x) \end{align} $

Contoh :
1). Tentukan turunan fungsi $ y = (x^3 - 2x + 2)^{2015} \, $ dan nilai $ f^\prime (1) $
Penyelesaian :
*). Misalkan $ z = x^3 - 2x + 2 \rightarrow \frac{dz}{dx} = 3x^2 - 2 $
Sehingga fungsinya : $ y = z^{2015} \rightarrow \frac{dy}{dz} = 2015z^{2014} = 2015(x^3-2x+2)^{2014} $
*). Turunan fungsi $ y = (x^3 - 2x + 2)^{2015} \, $ dengan aturan rantai :
$ \begin{align} y^\prime = \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dz}.\frac{dz}{dx} = 2015(x^3-2x+2)^{2014} . (3x^2 - 2) \end{align} $
Artinya $ f^\prime (x) = 2015(x^3-2x+2)^{2014} . (3x^2 - 2) $
*). Menentukan nilai $ f^\prime (1) $
$ f^\prime (1) = 2015(1^3-2.1+2)^{2014} . (3.1^2 - 2) = 2015(1)^{2014}.1 = 2015 $
Jadi, nilai $ f^\prime (1) = 2015 $

2). Tentukan nilai $ g^\prime (1) \, $ dari fungsi $ g(2x-3) = 2x^2.f(x^2-1) \, $ jika diketahui $ f(3) = -2 \, $ dan $ f^\prime (3) = 1 $ ?
Penyelesaian :
*). Kita turunkan bentuk $ g(2x-3) = 2x^2.f(x^2-1) \, $ dari kedua ruas,
Turunan ruas kiri : $ y = g(2x-3) \rightarrow y^\prime = g^\prime (2x-3) . 2 = 2g^\prime (2x-3) $
Turunan ruas kanan : $ y = 2x^2 . f(x^2 - 1) = U.V $
Misalkan :
$ U = 2x^2 \rightarrow U^\prime = 4x $
$ V = f(x^2 - 1) \rightarrow V^\prime = f^\prime (x^2 -1) . 2x = 2xf^\prime (x^2 -1 ) $
Sehingga turunan ruas kanan :
$ y = U.V \rightarrow y^\prime = U^\prime.V + U.V^\prime = 4x.f(x^2 -1) + 2x^2. 2xf^\prime (x^2 -1 ) $
*). Yang ditanyakan $ g^\prime (1) \, $ dari $ g^\prime (2x-3 ) \, $ artinya $ 2x - 3 = 1 \rightarrow x = 2 $ .
*). Substitusi $ x = 2 \, $ ke turunan kedua ruasnya :
$ \begin{align} g(2x-3) & = 2x^2.f(x^2-1) \, \, \, \, \, \, \text{(turunkan kedua ruas)} \\ 2g^\prime (2x-3) & = 4x.f(x^2 -1) + 2x^2. 2xf^\prime (x^2 -1 ) \\ 2g^\prime (2x-3) & = 4x.f(x^2 -1) + 4x^3.f^\prime (x^2 -1 ) \, \, \, \, \, \, \text{(substitusi } x = 2 ) \\ 2g^\prime (2.2-3) & = 4.2.f(2^2 -1) + 4.2^3.f^\prime (2^2 -1 ) \\ 2g^\prime (1) & = 8f(3) + 32f^\prime (3 ) \\ 2g^\prime (1) & = 8.(-2) + 32. 1 \\ 2g^\prime (1) & = -16 + 32 \\ 2g^\prime (1) & = 16 \\ g^\prime (1) & = \frac{16}{2} = 8 \end{align} $
Jadi, nilai $ g^\prime (1) = 8 $

3). Diketahui $ f(1) = 1 \, $ dan $ f^\prime (1) = 2 \, $ ,
tentukan nilai $ g^\prime (1) \, $ dari fungsi $ g(x) = (f(f(f(f(f(f(x))))))) $ ?
Penyelesaian :
*). Menentukan turunan $ g(x) \, $ dengan aturan rantai,
Misalkan :
$ z = f(x) \rightarrow \frac{dz}{dx} = f^\prime (x) $
Nilai $ f^\prime (1) = 2 $
$ m = f(f(x)) = f(z) \rightarrow \frac{dm}{dz} = f^\prime (z) = f^\prime (f(x)) $
Nilai $ f^\prime (f(1 )) = f^\prime (1) = 2 $
$ n = f(f(f(x))) = f(m) \rightarrow \frac{dn}{dm} = f^\prime (m) = f^\prime (f(f(x))) $
Nilai $ f^\prime (f(f(1))) = f^\prime (f(1)) = f^\prime (1) = 2 $
$ p = f(f(f(f(x)))) = f(n) \rightarrow \frac{dp}{dn} = f^\prime (n) = f^\prime (f(f(f(x)))) $
Nilai $ f^\prime (f(f(f(1)))) = f^\prime (f(f(1))) = f^\prime (f( 1)) = f^\prime (1) = 2 $
$ q = f(f(f(f(f(x))))) = f(p) \rightarrow \frac{dq}{dp} = f^\prime (p) = f^\prime (f(f(f(f(x))))) $
Nilai $ f^\prime (f(f(f(f(1))))) = f^\prime (f(f(f(1)))) = f^\prime (f(f(1))) = f^\prime (f(1)) = f^\prime (1) = 2 $
$ y = f(f(f(f(f(f(x)))))) = f(q) \rightarrow \frac{dy}{dq} = f^\prime (q) = f^\prime (f(f(f(f(f(x)))))) $
Nilai $ f^\prime (f(f(f(f(f(1)))))) = f^\prime (f(f(f(f(1))))) = f^\prime (f(f(f(1)))) $
$ = f^\prime (f(f(1))) = f^\prime (f(1)) = f^\prime (1) = 2 $
*). Sehingga turunanan fungsi $ g(x) = (f(f(f(f(f(f(x))))))) \, $ adalah
$ \begin{align} g^\prime (x) & = \frac{dy}{dx} \\ & = \frac{dy}{dq} . \frac{dq}{dp}.\frac{dp}{dn} . \frac{dn}{dm}.\frac{dm}{dz}.\frac{dz}{dx} \\ g^\prime (x) & = f^\prime (f(f(f(f(f(x)))))) \times f^\prime (f(f(f(f(x))))) \times f^\prime (f(f(f(x)))) \\ & \times f^\prime (f(f(x))) \times f^\prime (f(x)) \times f^\prime (x) \\ g^\prime (1) & = f^\prime (f(f(f(f(f(1)))))) \times f^\prime (f(f(f(f(1)))))\times f^\prime (f(f(f(1)))) \\ & \times f^\prime (f(f(1))) \times f^\prime (f(1)) \times f^\prime (1) \\ & = 2 . 2. 2.2.2.2 \\ & = 2^6 = 64 \end{align} $
Jadi, nilai $ g^\prime (1) = 64 $ .

Catatan : Aturan rantai turunan fungsi bisa digunakan untuk semua jenis fungsi baik itu fungsi aljabar, fungsi trigonometri, maupun fungsi lainnya

fungsi naik dan fungsi turun

fungsi naik dan fungsi turun

Selain menentukan "persamaan garis singgung pada kurva", aplikasi lain turunan adalah menentukan interval fungsi naik dan fungsi turun yang akan kita pelajari pada artikel kali ini. Interval fungsi naik dan fungsi turun menggunakan turunan akan mudah kita pelajari jika kita sudah memahami materi "turunan fungsi aljabar" atau "turunan fungsi trigonometri". 

Menentukan Interval Fungsi Naik dan Fungsi Turun Menggunakan Turunan

       Perhatikan grafik fungsi y=f(x)$y=f(x)$ berikut,

Dari grafik di atas diperoleh interval naik dan turunnya,
Interval naik : x1<x<x2$x_1<x<x_2$ atau x>x3$x>x_3$ .
Interval turun : x<x1$x<x_1$ atau x2<x<x3$x_2<x<x_3$ .

       Dari garfik di atas dapat dijelaskan bahawa,
*). Fungsi naik pada interval a<x<b$a<x<b$ jika terdapat x1$x_1$ dan x2$x_2$ dengan x1<x2$x_1<x_2$ pada interval a<x<b$a<x<b$ , maka berlaku f(x1)<f(x2)$f(x_1)<f(x_2)$ .
*). Fungsi turun pada interval a<x<b$a<x<b$ jika terdapat x1$x_1$ dan x2$x_2$ dengan x1>x2$x_1>x_2$ pada interval a<x<b$a<x<b$ , maka berlaku f(x1)>f(x2)$f(x_1)>f(x_2)$ .

       Untuk menentukan interval naik atau turun suatu fungsi, dapat menggunakan konsep turunan, yaitu :
Fungsi Naik pada saat f′(x)>0$f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$
Fungsi Turun pada saat f′(x)<0$f^{\mathrm{\prime }}(x)<0$

Catatan : dari penggunaan turunan untuk fungsi naik dan fungsi turun kita akan melibatkan pertidaksamaan, sehingga untuk memudahkan silahkan baca materi pertidaksamaan terlebih dahulu pada artikel "pertidaksamaan secara umum".

Contoh : 
1). Tentukan interval-interval dari fungsi f(x)=x2−4x$f(x)=x^2-4x$ agar fungsi: 
a. naik, 
b. turun. 
Penyelesaian : 
*). Menentukan turunan fungsi : 
f(x)=x2−4x→f′(x)=2x−4$f(x)=x^2-4x\to f^{\mathrm{\prime }}(x)=2x-4$ 
*). Menentukan interval naik dan turun, 
Interval fungsi naik, syaratnya : f′(x)>0$f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$ 
f′(x)>0→2x−4>0→2x>4→x>2$f^{\mathrm{\prime }}(x)>0\to 2x-4>0\to 2x>4\to x>2$ 
Sehingga, fungsi f(x)=x2−4x$f(x)=x^2-4x$ naik pada interval x>2$x>2$ . 
Artinya tanpa menggunakan syarat interval turun, kita sudah tau bahwa selain interval naik maka pasti interval yang lainnya adalah turun. 
Sehingga fungsinya turun pada interval : x<2$x<2$ . 
Jadi, fungsi f(x)=x2−4x$f(x)=x^2-4x$ naik pada interval x>2$x>2$ dan turun pada interval x<2$x<2$ . 

2). Tentukan interval naik dan turun dari fungsi f(x)=x3−6x2+9x+1$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$ ? 
Penyelesaian : 
*). Menentukan turunan fungsi : 
f(x)=x3−6x2+9x+1→f′(x)=3x2−12x+9$f(x)=x^3-6x^2+9x+1\to f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-12x+9$ 
*). Menentukan interval naik dan turun, 
Fungsi naik, syaratnya : f′(x)>0$f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$ 
f′(x)3x2−12x+9x2−4x+3(x−1)(x−3)x=1∨x>0>0(bagi 3)>0>0=3$\begin{array}{rl}{f}^{\mathrm{\prime }}(x)& >0\\ 3x^2-12x+9& >0\text{(bagi 3)}\\ x^2-4x+3& >0\\ (x-1)(x-3)& >0\\ x=1\vee x& =3\end{array}$ 
Menyelesaikan pertidaksamaan, buat garis bilangan : 

dari garis bilangan di atas, yang diminta adalah >0$>0$ artinya daerah yang positif,
sehingga fungsi naik pada interval : x<1∨x>3$x<1\vee x>3$ . 
Selain interval naik di atas, pasti untuk interval turun (bisa juga dilihat pada garis bilangan, tanda negatif artinya fungsi turun), 
Sehingga fungsi turun pada interval : 1<x<3$1<x<3$ 
Jadi, interval naik x<1∨x>3$x<1\vee x>3$ dan turunnya 1<x<3$1<x<3$ . 
*). Gambar grafik fungsi f(x)=x3−6x2+9x+1$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$ 

3). Tentukan nilai p$p$ pada fungsi y=13x3−x2+px−5$y=\frac{1}{3}{x}^3-x^2+px-5$ agar fungsinya selalu naik ? 
Penyelesaian : 
*). Menentukan turunan fungsinya : 
y=13x3−x2+px−5→y′=x2−2x+p$y=\frac{1}{3}{x}^3-x^2+px-5\to y^{\mathrm{\prime }}=x^2-2x+p$ 
*). Syarat fungsi naik : y′>0$y^{\mathrm{\prime }}>0$ 
Sehingga : x2−2x+p>0$x^2-2x+p>0$ .....pert(i). 
*). Agar pert(i) terpenuhi, maka bentuk x2−2x+p$x^2-2x+p$ nilainya selalu positif untuk semua nilai x$x$ yang terpenuhi jika berlaku definit positif. Materi definit positif bisa dibaca pada artikel "Ciri-ciri Grafik Fungsi Kuadrat (parabola)". 
Syarat definit positif : a>0$a>0$ dan D<0$D<0$ dengan D=b2−4ac$D=b^2-4ac$ . 
*). Menyelesaikan syarat definit positif : 
Bentuk x2−2x+p→a=1,b=−2,c=p$x^2-2x+p\to a=1,b=-2,c=p$ 
Syarat pertama : a>0→1>0$a>0\to 1>0$ (benar) 
Syarat kedua : D<0→b2−4ac<0$D<0\to b^2-4ac<0$ 
b2−4ac(−2)2−4.1.p4−4p−4pp<0<0<0<−4(bagi -4, tanda dibalik)>1$\begin{array}{rl}{b}^2-4ac& <0\\ (-2{)}^2-\mathrm{4.1.}p& <0\\ 4-4p& <0\\ -4p& <-4\text{(bagi -4, tanda dibalik)}\\ p& >1\end{array}$ 
Jadi, nilai p$p$ agar fungsinya selalu naik adalah {p>1}$\{p>1\}$ .